☛ Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive

Énoncé

Le plan est muni d'un repère orthogonal.

1. Soit \(f\) la fonction carré définie sur \([1~;~4]\) . Calculer  \(\displaystyle \int_1^4 f(x)\text d x\) .
2. Soit \(f\) la fonction définie sur \([0~;~2]\) par \(f(t)=\text e^{-3t+1}\) . Calculer \(\displaystyle \int_0^2 f(t)\text d t\) .

Solution

1. La fonction carré est une fonction continue et positive sur  \([1~;~4]\) .
Une primitive de \(x\mapsto x^2\)  sur \([1~;~4]\) est  \(x\mapsto \dfrac 13 x^3\) ,
donc  \(\displaystyle \int_1^4 f(x)\text d x = \left[\dfrac13x^3\right]_1^4=\dfrac13\times 4^3-\dfrac13\times 1^3=\dfrac{64}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{63}{3}=21\) .

2.  La fonction `f` est une fonction continue et positive  sur \([0~;~2]\) .
Une primitive de  \(f\)   sur \([0~;~2]\) est la fonction définie, pour tout réel \(t\) de \([0~;~2]\) , par  \(F(t)=-\dfrac13\text e^{-3t+1}\) .
Donc  \(\displaystyle \int_0^2 f(t)\text d t = \left[-\dfrac13\text e^{-3t+1}\right]_0^2 = -\dfrac13\text e^{-3\times 2+1}-\left(-\dfrac13\text e^{-3\times 0+1}\right)=\dfrac{1}{3}\text e-\dfrac13\text e^{-5}\) .