☛ Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive

Énoncé

Le plan est muni d'un repère orthogonal.

1. Soit $f$ la fonction carré définie sur $[1;4]$ . Calculer  ${\displaystyle {\int }_1^{4}f(x)\text{d}x}$ .
2. Soit $f$ la fonction définie sur $[0;2]$ par $f(t)={\text{e}}^{-3t+1}$ . Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{2}f(t)\text{d}t}$ .

Solution

1. La fonction carré est une fonction continue et positive sur  $[1;4]$ .
Une primitive de $x\mapsto x^2$  sur $[1;4]$ est  $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3$ ,
donc  ${\displaystyle {\int }_1^{4}f(x)\text{d}x={\left[{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3\right]}_1^4={\displaystyle \frac{1}{3}}\times 4^3-{\displaystyle \frac{1}{3}}\times 1^3={\displaystyle \frac{64}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{63}{3}}=21}$ .

2.  La fonction $f$ est une fonction continue et positive  sur $[0;2]$ .
Une primitive de  $f$   sur $[0;2]$ est la fonction définie, pour tout réel $t$ de $[0;2]$ , par  $F(t)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\text{e}}^{-3t+1}$ .
Donc  ${\displaystyle {\int }_0^{2}f(t)\text{d}t={[-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\text{e}}^{-3t+1}]}_0^2=-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\text{e}}^{-3\times 2+1}-(-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\text{e}}^{-3\times 0+1})={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{e}-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\text{e}}^{-5}}$ .